卢欣｜Note(1)Landau费米液体理论

发布日期：2022-03-02 18:19 点击次数：95

首先要说明的是Landau费米液体理论（LFLT）可以认为是以往对量子多体理论研究的基石之一，（还有其它理论：Hartree-Fock近似、线形响应理论等等），LFLT认为对于具有相互作用的金属系统，其与自由的费米子系统相类似。LFLT几乎可以描述我们目前已知的所有金属，并且对于许多的非金属态（SC、AF）可以用于描述一些实验上的现象，有说法认为这些非金属态是LFLT的某些不稳定结构。此外，对于普通的金属而言，电子之间的Coulomb相互作用可以和费米能 $E_F$
相比拟，比费米面附近的能级间距要大很多，也就是说对于这样的强相互作用系统，微扰理论已经失效。那么从这一点看就很难让人相信，对于这样一个具有强相互作用的系统居然与一个无相互作用的系统（Fermi gas）有相似的性质。这其实是因为我们可以对无相互作用系统逐步加入相互作用，让其绝热地（Adiabatically）过渡到有相互作用的准粒子物理图像中去。当然并不是所有的相互作用的系统都可以由无相互作用的系统绝热演化而来（例如：Luttinger liquid，其需要借助于玻色化（Bosonization）的方法来处理，这里将不赘述）。
LFLT成立的必要条件是具有良好定义的准粒子图像，理论上可以通过计算单粒子的谱权重 $Z_{\mathbf{k}}$
是否为零进行判断。实验上最直接的是谱学方法测量谱函数，比如利用ARPES可以直接观察单电子谱函数中有无良好定义的准粒子峰。另外输运性质的实验，可以检测低温下的费米液体行为，比如电阻率正比于温度的平方 $\rho \propto T^2$
，比热正比于温度 $C_v \propto T$
，自旋磁化率满足Pauli顺磁性，即 $\chi =\mathrm{constant}$
等。
我们解决单粒子问题时候，我们关心的是粒子处于什么状态。但是处理多体系统的时候，研究每个粒子处于什么态会变得十分复杂，因而需要利用统计的思想，考察每个态上有多少个粒子。用每个态的占据数标记量子多体态。这一思想对于从费米气体演化到费米液体非常重要。
我们先引入一个LFLT的基本假设：
$*$
低能本征态（包括基态和低能激发态）由一组量子数 $n_{\mathbf{k},\sigma}=0,1$
来标记，称之为“占据数”。
对于费米气体（FG）， $T=0K$
时，粒子将从 $\mathbf{k}=0$
开始在Pauli 不相容原理的约束下依次填满至费米面，每个电子的状态用 $\left(\mathbf{k},\sigma \right)$
这样一组量子数来标记，多粒子体系的状态用每个状态粒子的平均占据数 $n_{\mathbf{k}}$
描述。FG在零温下的基态就是电子填满费米面以下的态空间，低能激发对应一个电子从费米球内激发到球外。由于FG的粒子之间没有相互作用。这种激发态是系统的严格的本征态，所以粒子在费米球内被激发到球外以后，如果没有外界的干扰将永远处于这个态，对应粒子寿命为无限长。因而由谱权重定义：
$Z_{\mathbf{k}} ={\left|\left\langle \psi_G^{1-\mathrm{hole}} |c_{\mathbf{k}} |\psi_G^{0-\mathrm{hole}} \right\rangle \right|}^2$

可以得到，对于FL而言 $Z_{\mathbf{k}}=1$
，对应为费米面附近态密度的突变。
费米液体（FL）考虑了体系中粒子之间的相互作用。Landau 的又一个基本假设是：
$*$
FL的基态和低激发态可以FG的方式构成。对应的粒子并非组成体系的粒子，而是准粒子。
从FG 到FL ，可以看做相互作用是绝热演化过去的（过程不发生相变）。在粒子标记为准粒子的过程中，对应的动量，自旋和电荷是不变的，即准粒子的状态仍然可以和FG 一样标记，电荷不变决定了电子的数目等于准粒子的数目。这样基本的物理图像为：FL的基态相当于准粒子填满的费米球，当一个准粒子从占满的费米球内跃迁到球外时即对应元激发。从FG的基态通过这种绝热过程演化到FL的基态，这个前提是我们假设Fermi球外是空占据的。若在FG 的基态Fermi 球外放入一个粒子再开始绝热过程时，准粒子具有一定寿命，所以严格来说只有Fermi面上的准粒子（具有无限长的寿命）才具有良好的定义。如果寿命很短，根据不确定关系，能量的不确定度就会很大，研究其的物理意义也不大。对于FL而言， $|c_{\mathbf{k}} |\psi_G^{0-\mathrm{hole}} \rangle$
不是单空穴的基态，所以对于定义的谱权重 $0<Z_{\mathbf{k}}<1$

可以得到： $\varepsilon \left(p\right)=\frac{\delta E}{\delta n\left(p\right)}$
，说明准粒子的能量也是分布函数的泛函。
设体系基态的粒子分布为 $n_{p\sigma }^0$
，低温下分布相对于基态分布有一个小偏离 ${\delta n_{p\sigma } =n_{p\sigma } -n}_{p\sigma }^0$
，将系统能量在 $n_{p\sigma }^0$
附近展开：
$E\left(n_{p\sigma } \right)=E_0 \sum_{p\sigma } \frac{\delta E}{\delta n_{p\sigma } }|_0 \delta n_{p\sigma } \frac{1}{2}\sum_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime } } \frac{\delta E}{\delta n_{p\sigma } \delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } } }|_0 \delta n_{p\sigma } \delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } } \cdot \cdot \cdot$

即：
$E\left(n_{p\sigma } \right)\approx E_0 \sum_{p\sigma } \varepsilon_{p\sigma }^0 \delta n_{p\sigma } \frac{1}{2}\sum_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime } } f_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime } } \delta n_{p\sigma } \delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } }$

其中， $\varepsilon_{p\sigma }^0 =\frac{\delta E}{\delta n_{p\sigma } }|_0$
代表准粒子分布平衡时的准粒子能量，此时并没有考虑准粒子间的相互作用， $f_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime } } =\frac{\delta E}{\delta n_{p\sigma } \delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } } }|_0$
是描述准粒子间相互作用的项。因而带入准粒子能量定义式 $\varepsilon \left(p\right)=\frac{\delta E}{\delta n\left(p\right)}$
求得准粒子的能量：
$\varepsilon \left(p\right)=\varepsilon_{p\sigma }^0 \sum_{p^{\prime } \sigma^{\prime } } f_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime } } \delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } }$

由于相互作用是通过绝热加入的，所以FG 与FL 的熵是相同的，这就导致了FL 体系中准粒子的分布函数与FG 的分布函数相同，即Fermi-Dirac 分布 $n\left(p\right)=\frac{1}{e^{\left(\varepsilon \left(p\right)-\mu \right)/T 1} }$
，在 $T=0K$
时分布是一个阶跃分布，所以 $\delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } }=0$
，则有：
$\varepsilon \left(p\right)=\varepsilon_{p\sigma }^0 =E\left(p\right)-E_F \approx \frac{\partial \varepsilon_{p\sigma }^0 }{\partial p}|_{p=p_F } \left(p-p_F \right)=v_F \left(p-p_F \right)$

这样以来，对于FL我们只需要定义有效质量 $m^{*}$
（满足 $v_F =\frac{P_F }{m^* }$
）代替FG中的 $m$
即可使用处理FG的思想来处理FL。这里有一点需要注意：当准粒子能量的相互作用项中 $\delta n_{p^{\prime } \sigma^{\prime } }$
贡献显著时，需要考虑 $f_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime }}$
的权重。对于各向同性的FL来说， $f_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime }}$
具有空间旋转不变性和自旋旋转不变性 $f_{p\sigma p^{\prime } \sigma^{\prime } } =f_{p^{\prime } \sigma^{\prime } p\sigma } =f_{\sigma \sigma^{\prime } } \left(\theta_{pp^{\prime } } \right)=f_{\sigma \sigma^{\prime } } \left(-\theta_{pp^{\prime } } \right)$
，所有仅与动量 $p^{\prime }$
和 $p$
的夹角有关,可以用Legendre多项式展开：
$N\left(0\right)f_{pp^{\prime } }^{s,a} =F_{pp^{\prime } }^{s,a} =\sum_{l=0}^{\infty } F_l^{s,a} P_l \left(\mathrm{cos}\theta_{pp^{\prime } } \right)$

其中， $F_l^{s}$
与 $F_l^{a}$
分别代表 $f$
对称与反对称情况下的Landau参数。由此可以看出Landau费米液体理论仅用有效质量 $m^{*}$
和几个朗道参数就可以很好的描述相互作用体系的物理性质，是非常Useful理论。

参考书目：
[1] Modern Condensed Matter Physics, S. M. Girvin and K. Yang.
[2] Theory of Quantum Many-body Systems, X.-G. Wen.
[3] Introduction to Many Body Physics, P. Coleman.

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